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Hoja 2.1

1. Los tres condenados. Tres ladrones, que llamaremos A, B y C, fueron capturados mientras robaban en el palacio de un Gobernador despótico, y condenados a muerte por él mismo.Antes de cumplirse la sentencia, el Gobernador se arrepintió de su severidad, y decidió indultar a uno de los tres presos. Para procurar que este beneficio recayese en el más inteligente de los tres condenados, dispuso lo siguiente:A la vista de los presos mostró tres tiras de paño blanca y dos tiras negras. Después ordenó que a la espalda de cada preso por separado se colgase una de estas cinco tiras. Hecho esto, permitió que los presos se viesen libremente entre sí, pero que no se comunicasen. Prometió la libertad al primero que supiese acertar, con razonamiento infalible, el color de su tira.El preso A vio que las tiras de B y C eran blancas y a los pocos segundos pidió ser llevado ante el Gobernador, quien expuso la respuesta acertada.¿Qué fue lo que dijo A y cómo lo razonó?


2. Triquis y traques.Los triquis y los traques son dos curiosas tribus que tienen esta notable particularidad:Que los hombres triquis mienten siempre, mientras que los traques no mienten jamás. Un explorador, que se deslizaba por el río a bordo de una barca conducida por un indígena, vio en la orilla a otro indígena que por su apariencia física se adivinaba de tribu contraria a la de su barquero. -¿De qué tribu eres tú?- interrogó el explorador al hombre de la orilla.La respuesta se hizo confusa, por la distancia, y el explorador preguntó a su barquero: -¿Qué es lo que me ha respondido? -Dice que es un traque- contestó el barquero.Se trata ahora de saber a qué tribu pertenecía cada uno de los indígenas.


3. ¿Cómo crear un calendario con todos los días del año con sólo dos cubos?


Hay unos calendarios formados por dos cubos para los dígitos de la semana (uno para las decenas y otro para las unidades) sobre los que se apoyan tres prismas cuadrangulares con el nombre de un mes en cada una de sus caras, de este modo eligiendo correctamente la cara de los cubos a mostrar y la cara correcta del prisma correcto (dejando los otros dos detrás) se puede formar la fecha actual.

El dígito de las decenas puede ser 0, 1, 2 o 3.El dígito de las unidades varía entre 0 y 9.De modo que necesitaríamos 14 caras (4+10) para situar todos los símbolos necesarios, sin considerar por el momento la distribución en cada uno de los cubos, entre los que contamos con solamente 12 caras (6x2).El primer día de mes es el 1, de modo que el 0 no se repite, por lo que podemos eliminar una de sus copias (está en la lista de decenas y unidades) y el último día de mes es, a lo sumo, 31, por lo que, al no llegar al 33, tampoco es necesario repetir el 3. Así reducimos la cantidad de símbolos necesarios a 12 (los 10 del 1 al 0 más otro 1 y otro 2, únicos dígitos que se pueden repetir) y con ello logramos que quepan todos ellos en las caras disponibles de los 2 cubos.

Ahora comenzamos a listar los días que podemos componer: 01, 02, 03, 04, 05, 06¡Problema!No podemos componer todas las representaciones de los días con una sola cifra, ya que para ello necesitaríamos que el 0 se pudiese enfrentar a los otros 9 dígitos y eso solamente es posible si el 0 está en ambos cubos, ya que no es posible distribuir los 9 dígitos a que enfrentarlo en uno sólo de los cubos.Conclusión: el 0 debe estar repetido y el total de símbolos a representar es 13, con lo que no caben en las 12 caras disponibles. Alguien puede pensar que el 3 también se tiene que enfrentar a las unidades, pero este solamente lo hará contra el 0 y el 1 (para el 30 y 31) y dado que ambos deben estar ya repetidos no habrá problema con él.

Nazari

EL HUESO NAZARÍ:
El hueso nazarí es un polígono cóncavo de doce lados, se obtiene a partir de un cuadrado en el que se recortan dos trapecios de dos lados opuestos y se colocan mediante giros en los otros dos lados también opuestos. Como en todos los polígonos nazaríes se conserva el área del polígono inicial.

LA PAJARITA NAZARÍ:
Es, tal vez, el más conocido de los polígonos nazaríes, curiosamente esta forma está delimitada al igual que el pétalo, por arcos de circunferencia en vez de por segmentos rectos como un polígono convencional.No nos ha llegado información de cómo los maestros nazaríes trazaban este polígono, pero los matemáticos han encontrado varias formas de construirlo, una de ellas es a partir de un triángulo equilátero, en el que se recortan en cada lado un segmento circular para colocarlo en el mismo lado mediante un giro de 180º.Se pueden ver mosaicos generados por pajaritas multicolores en la Alhambra y en el Alcázar de Sevilla alternando el blanco y negro

Simetria

SIMETRÌA:

La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistema, ecuaciones , y otros objetos materiales o entidades abstractas.
La simetría es:La cualidad, característica que tiene un cuerpo con alguna proporcionalidad de REFERENCIA ESPACIAL
En condiciones formales, decimos que un objeto es simétrico en lo que concierne a una una operacion matematica dada, si, cuando aplicado al objeto, esta operación no cambia el objeto o su aspecto. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrias de un espacio euclideo: translaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan.
La simetría también puede ser encontrado en organismos vivos.

GRUPOS DE SIMETRÍA:

El grupo de simetría es un grupo de operaciones o transformaciones geométricas que deja invariante cierta entidad geométrica o entidad física. El concepto es importante tanto en geometría, como en mecánica lagrangiana y teoría cuántica de campos.El grupo de transformaciones que dejan invariante una figura plana sería el conjunto de todos los movimientos que dejarían invariante a dicha figura, y contiene al menos el movimiento identidad.Un conjunto de puntos de un plano se dice que es invariante por un movimiento cuando mediante dicho movimiento de transformación se obtiene el mismo conjunto. Por ejemplo un triángulo equilátero puede ser girado 120, 240 o 360 grados, obteniéndose el mismo triángulo.

Geometria

GEOMETRIA Y SOLIDOS PLATONICOS:
La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.Reciben estos nombres en honor del filósofo griego Platón al que se atribuye haberlos estudiado en primera instancia.

Matematicas Y Arte

Hueso Nazari:

Hoja 1.2

1.Coloca diez soldaditos sobre la mesa de modo que haya cinco filas de cuatro soldaditos.

2.¿cuántos 9 se utilizan para escribir todos los números del 0 al 300?

3.Quita 8 palillos de la figura que tiene 24.Quita 8 para que queden 5 cuadrados.Quita 8 para que queden 4 cuadrados.Quita 8 para que queden 2 cuadrados.

4.El producto de las edades de tres personas es 390 ¿cuáles son dichas edades?

5.Sitúa doce soldaditos sobre la mesa de modo que haya seis filas de cuatro soldaditos.

6.Cuatro vacas suizas y tres autóctonas dan tanta leche en cinco días como tres vacas suizas y cinco autóctonas en cuatro días ¿qué vaca es mejor,lechera,la suiza o la autóctona?

7.El primer dígito de un número de seis cifras es 1. Si se mueve al otro extremo, a la derecha,manteniendo el orden del resto de las cifras, el nuevo número es tres veces el primero¿cuál es el número original?

8.Un amigo le dice a otro:tengo tres hijas, el producto de sus edades es 36 y su suma coincide con el número de esta casano puedo averiguar las edades, responde el amigo.¡ah! Es cierto. La mayor toca el piano.ya se las edades de tus hijas¿cuáles son?.

9.Cambiando solo tres fichas de lugar, has de conseguir invertir el triángulo, poniendo la base arriba y el vértice abajo.

10.Tres caballeros con tres escuderos . Tres caballeros, cada uno con su escudero, se reunieron para cruzar el río. encontraron una barca pequeña de dos plazas. Pero surgió la dificultad:todos los escuderos se niegan a permanecer con caballeros desconocidos sin la presencia de su amo no valieron amenazas. Los testarudos escuderos se mantuvieron en lo suyo.las seis personas.Pasaron a la otra orilla cumpliendo la condición.¿cómo lo hicieron?

Hoja 1.3

1.¿De cuántas formas diferentes se pueden juntar 8€ utilizando solo monedas de 2€, 1€ y 0.50 €? 2.Un motorista sale de su casa para acudir a una cita. Se da cuenta de que si viaja a 60 km/h llegará un cuarto de hora tarde, pero si lo hace a 100 km/h llegará un cuarto de hora antes. ¿A qué distancia está su destino?

1/4 100 = 25 Km 100-25 = 75 Km/h1/4 60 = 15 Km 60 + 15 = 75 Km/hS = V x T 75 x 1100 x 3/460 x 5/4

3.Si los miembros de un grupo bailan de dos en dos, sobra uno. Si lo hacen de tres en tres, sobran dos, y si lo hacen de cinco en cinco también sobran dos.¿Cuántas personas componen el grupo sabiendo que su número está comprendido entre 10 y 20? ¿Y si estuviera comprendido entre 30 y 50?

4.Utilizando solamente la cifra 5 y las operaciones oportunas se puede obtener cualquier número.Por ejemplo, para obtener 6 podemos hacer:55: 5 – 5 = 6Busca la manera de obtener con la mínima cantidad de cincos:a) Los veinte primeros números naturales.b) Los números 111 y 125.c) Los números 500, 1000 y 3000.

5.Un nenúfar, en un lago, dobla su tamaño todos los días. En un mes cubre todo el lago. ¿Cuánto tiempo tardarán dos nenúfares en cubrir todo el lago?

6.¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? Razona tus respuestas.a) La suma de dos números consecutivos no es múltiplo de dos.b) La suma de dos impares consecutivos no es múltiplo de cuatro.c) La suma de tres números naturales consecutivos es múltiplo de tres.

7.¿Cuántos capicúas existen de cuatro cifras en los que las dos cifras extremas suman lo mismo que las dos centrales?

8.¿Cuántos tramos de carretera son necesarios para comunicar cuatro ciudades de forma que desde cada una se pueda llegar a cualquier otra sin pasar por una tercera? ¿Y para comunicar cinco ciudades?¿Y para comunicar n ciudades?

9.Un grupo de amigos va a comer a un restaurante chino. Cada dos comparten un plato de arroz, cada 3 uno de salsa y cada cuatro uno de carne. En total se sirvieron 65 platos. ¿Cuántos amigos fueron a comer?

10.¿En cuantos ceros acaba el número 125!?

1!= 12!= 2x13!= 3x2x14!= 4x3x2x15!= 5x4x3x2x110!= 10x9x8...3x2x1125!= 125x124x123...3x2x1

11.¿Cuál es el último dígito de la expresión 2 (elevado a la 103) + 3?12) De los 30 alumnos y alumnas de una clase, 15 declaran ser aficionados al rock, y 13, al bacalao. Hay 6 de ellos que son aficionados a ambos ritmos musicales. ¿Cuántos no son aficionados ni a lo uno ni a lo otro?

2 (elevado a la 103) + 3

2 (elevado a la 0) = 1

2 (elevado a la 1) = 2

2 (elevado a la 2) = 4

2 (elevado a la 3) = 8

2 (elevado a la 4) = 16

2 (elevado a la 5) = 32

2 (elevado a la 6) = 64

2 (elevado a la 7) = 128

2 (elevado a la 8) = 256

2 (elevado a la 9) = 512

2 (elevado a la 10)= 1024

2 (elevado a la 11)= 2048

Terminaciones en: 2486

Matematicas y Arte

MAURITS CORNELIS ESCHER.

Holandés nacido en 1898 y conocido por sus originales obras basadas en figuras imposibles y teselaciones del plano. No destacó como estudiante y ni siquiera sacaba buenas notas en arte. Comenzó la carrera de arquitectura en Haarlem, abandonándola tras poco tiempo. Allí coincidió con el maestro Mesquita, experto en artes gráficas y primero de la época que se fijó en su talento. En apariencia, sus obras son dibujos normales, pero una observación un poco más detenida nos produce un auténtico vértigo. Muchas de sus obras resultan surrealistas, pero con una gran simpleza en su técnica. Sus grabados se pueden considerar una expresión racional y matemática de la realidad. Uno de los recursos más utilizados por Escher es el de la ambigüedad que presentan las imágenes cóncavas o convexas en el universo bidimensional (como con el dragón de Gardner) y que hace que éstas se perciban de distinta manera dependiendo de donde se considere que proviene la luz. Escher visitó España en numerosas ocasiones, la primera en calidad de canguro de los hijos de un amigo suyo. Hasta en dos ocasiones, recorrió la Alhambra, quedando impresionado por los mosaicos que ornaban sus paredes. La cultura árabe prohibía la representación de figuras vivas (humanos, animales, plantas…) por lo que toda la decoración está hecha a base de figuras geométricas. Obsesionado con la teselación del plano, tras diez años de trabajo, consiguió descubrir un método que sirvió de herramienta para gran cantidad de posteriores diseños. La principal conclusión es que sólo hay 17 maneras posibles de cubrir totalmente un plano y que, precisamente, son las mismas que pueden apreciarse en la Alhambra.

ALEKSANDR RODCHENKO:

Rodchenko:El trabajo fotográfico de Alexander Rodchenko se desarrolla en la URSS en una época de gran actividad creadora en la Europa occidental.Y al igual que los creadores occidentales, Rodchenko indaga nuevas formas estilísticas.Sus imágenes presentan una parte de la historia de la URSS en la primera mitad del siglo XX.Sus imágenes poseen una fuerza extraordinaria, son contundentes.Es un admirador de la tecnología y en especial de todo lo que vuela: aviones, dirigibles, globos. De los puentes, torres metálicas y de la arquitectura.La tecnología representa el mundo contemporáneo.Para él, la ciudad moderna con los altos edificios con cristales en sus muros, la industria, los tranvías, los coches, los anuncios publicitarios, los barcos y aviones necesitan un cambio en la percepción visual.Los puntos de vista más interesantes para mostrar la realidad ya no es la vista horizontal de un hombre de pie, sino de abajo arriba y de arriba abajo, con el horizonte inclinado, lo que hace que la imágen adquiera mayor movimiento y dinamismo.Es un ejemplo nítido de lo que viene a denominarse estilo en un fotógrafo. Sus fotografías son fácilmente identificables.Estas composiciones las consigue cuando puede deshacerse de la servidumbre de las pesadas y rígidas cámaras de placas y al igual que otros fotógrafos consigue tener en sus manos las ligeras cámaras portátiles.En los retratos evita el manierismo propio de los estudios de fotografía. Sus retratos se convierten en símbolos, en iconos, al eliminar todo lo superfluo.El poder expresivo de una fotografía depende tanto de los medios explicativos empleados como del sujeto descrito.

TEORIA DE CONJUNTOS:

La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor

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Matematicos ilustres

Georg Cantor:
Georg Cantor (n. San Petersburgo, 3 de marzo de 1845, m. Halle, 6 de enero de 1918 ) fue un matemático alemán, inventor con Dedekind de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).
Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real, asimilado al espacio vectorial R³.
Este hecho supuso un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor. Y las acusaciones de blasfemia por parte de ciertos colegas envidiosos o que no entendían sus descubrimientos no le ayudaron. Sufrió de depresión, y fue internado repetidas veces en hospitales psiquiátricos. Su mente luchaba contra varias paradojas de la teoría de los conjuntos, que parecían invalidar toda su teoría (hacerla inconsistente o contradictoria, en el sentido de que una cierta propiedad podría ser a la vez cierta y falsa). Además, trató durante muchos años de probar la hipótesis del continuo, lo que se sabe hoy que es imposible, y que tiene que ser aceptada (o rehusada) como axioma adicional de la teoría. El constructivismo negará este axioma, entre otras cosas, desarrollando toda una teoría matemática alternativa a la matemática moderna.
Empezó a interpretar el infinito absoluto (que no es concebible por la mente humana) como Dios, y escribió artículos religiosos sobre el tema. Murió en una clínica psiquiátrica de monjas, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva (la cual se le atribuye a su edad).
Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significa un salto cualitativo importante en el raciocinio lógico.


Teoria De Conjuntos:
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor